第19章 第19章助教师姐
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一的椅子，一张椅子也对应唯一的人，所以这两个集合是一一映射。”
“现在，看回前面的问题，区间[0,1]上的点与[0,10]上的点一样多，就是因为两个区间能建立一一映射。”
“任意x∈[0,1]，y=10x∈[0,10]，显然这就是一一映射。”
“所以，[0,1]上的点与[0,10]上的点一样多。”
【……】
【刚刚不还在讲幼儿园数手指的问题吗，为什么我上个厕所回来，我就啥都听不懂了？】
【前面的别说了，我没上厕所，全程听着，也懵逼了】
【果然，这就是数学的魅力——神秘感，怎么都弄不懂的神秘感（狗头）】
【……】
……
殷越慢慢讲，内容逐渐讲到集合的对等与基数。
一旁的何思怡，听完了豁然开朗。
看向殷越的目光，更是充满了敬佩和羡慕——
一方面，她敬佩师姐的智商。
另一方面，她羡慕师姐的头发！
为什么师姐的头发保养的这么好？！
不是说读研都会变秃头少女的吗？
何思怡想起自己的宿舍，大家不过读个数学本科，已经脱发脱的差不多了。
哭死了。
“这个过程你看看，不懂再跟我说。”殷越把草稿纸递过去。
“谢谢，谢谢。”何思怡如获至宝。
实变函数真的太难了，都把她愁死了。
幸亏助教师姐很强，这就不是事儿了。
何思怡问完问题就去前面找位置，等着上课了。
刚转过身，她就看到自己的学霸舍友李淑琴。
“思怡，你刚刚跟谁说话？”李淑琴小声问道。
“助教师姐啊。”
“那个女生是助教？我还以为她是大一的。”
“是啊，我刚刚还问了她作业题，师姐一会儿就做出来了，超厉害。”
李淑琴也在超前学习，但后面的习题有点难，而且网上找不到答案。
而且，大学老师是很难找的，不像高中那样可以随时问问题，所以李淑琴困惑了很久。
难得碰到个助教师姐，一定要多问！
想到这儿，李淑琴拿着问题就去问殷越。
殷越：“？？？”
什么情况？
我成小猿搜题了？
都来问我？
不过，殷越虽然疑惑，但也没拒绝。
自己刚刚学了那么久，现在的帮忙解答几个问题，就当是课间休息了。
殷越看向女生给的问题——
设{fn(x)}为e=[a,b]上的实函数列，f1(x)≤f2(x)≤…≤fn(x)≤…并且lim(n→∞)fn(x)=f(x)
证明：对任何实数c，有e[f(x)>c]=u(n=1→∞)e[fn(x)>c]
一个很简单的问题。
殷越读完题就有了思路，开始证明。
【我完全看不懂题目】
【连符号都没见过】
【这应该是《实变函数》问题】
【殷越最近自习的课程？】
【是的】
【我深深怀疑，殷越真的能解出来？】
【别怀疑了，每次怀疑都会被殷越打脸（狗头）】
【有道理（笑死）】
……
李淑琴看向师姐的草稿，字很好看——
首先，我们证e[f(x)>c]是u(n=1→∞)e[fn(x)>c]的子集
任意x0∈e[f(x)>c]，有f(x0)>c，由题意可得
lim(n→∞)fn(x0)=f(x0)>c
——
李淑琴点点头。
这道题要证明两个集合相等，常见的方法就是两个集合互为对方的子集。
这个方法在高中数学书里有，不过几乎用不上。
毕竟，集合在高中，基本就是选择题前两题的难度，是送分题。
但集合论可比高中难得多，难度大概提升了亿点点。
她继续看殷越师姐的证明——
由极限保号性，存在n，当n>n时，有fn(x0)>c
于是，x0∈e[fn(x)>c]
从而，x0∈u(n=1→∞)e[fn(x)>c]
故e[f(x)>c]是u(n=1→∞)e[fn(x)>c]的子集
——
原来如此，是用《数学分析》里的保号性！
李淑琴敲了敲自己的脑袋。
自己果然不适合学数学，这都想不到！
——
然后，我们继续证明u(n=1→∞)e[fn(x)>c]是e[f(x)>c]的子集
任意x1∈u(n=1→∞)e[fn(x)>c]，则存在n，使得x1∈e[fn(x)>c]
则有fn(x1)>c
不妨设fn(x1)≥c+m（m>0）
——
大于等于c+m？
李淑琴有点不解。
为什么有这个操作？
why，why，why！！！
——
由函数列的单调性知：
c+m≤fn(x1)≤f（n+1）(x1)≤…
由极限保号性知：
f(x1)=lim(n→∞)fn(x1)≥c+m（m>0）
所以，f(x1)≥c+m>c
x1∈e[f(x)>c]
故u(n=1→∞)e[fn(x)>c]是e[f(x)>c]的子集
综上，u(n=1→∞)e[fn(x)>c]=e[f(x)>c]，证毕。
——
原来如此！
李淑琴忍不住看了殷越一眼：
师姐虽然长得嫩，但毕竟是师姐，数学功底还是很强的。
【瞧瞧这个女生看殷越的眼神，我磕到了】
【我靠，这也能磕】
【明明就是仰慕学霸的眼神，别想多了】
【殷越太强了，大三的题目也能解？】
【而且她是自学，学了没多久！】
【为什么殷越这么厉害（掩面哭泣）】
【人类进化没带上我（大哭）】
……
一的椅子，一张椅子也对应唯一的人，所以这两个集合是一一映射。”
“现在，看回前面的问题，区间[0,1]上的点与[0,10]上的点一样多，就是因为两个区间能建立一一映射。”
“任意x∈[0,1]，y=10x∈[0,10]，显然这就是一一映射。”
“所以，[0,1]上的点与[0,10]上的点一样多。”
【……】
【刚刚不还在讲幼儿园数手指的问题吗，为什么我上个厕所回来，我就啥都听不懂了？】
【前面的别说了，我没上厕所，全程听着，也懵逼了】
【果然，这就是数学的魅力——神秘感，怎么都弄不懂的神秘感（狗头）】
【……】
……
殷越慢慢讲，内容逐渐讲到集合的对等与基数。
一旁的何思怡，听完了豁然开朗。
看向殷越的目光，更是充满了敬佩和羡慕——
一方面，她敬佩师姐的智商。
另一方面，她羡慕师姐的头发！
为什么师姐的头发保养的这么好？！
不是说读研都会变秃头少女的吗？
何思怡想起自己的宿舍，大家不过读个数学本科，已经脱发脱的差不多了。
哭死了。
“这个过程你看看，不懂再跟我说。”殷越把草稿纸递过去。
“谢谢，谢谢。”何思怡如获至宝。
实变函数真的太难了，都把她愁死了。
幸亏助教师姐很强，这就不是事儿了。
何思怡问完问题就去前面找位置，等着上课了。
刚转过身，她就看到自己的学霸舍友李淑琴。
“思怡，你刚刚跟谁说话？”李淑琴小声问道。
“助教师姐啊。”
“那个女生是助教？我还以为她是大一的。”
“是啊，我刚刚还问了她作业题，师姐一会儿就做出来了，超厉害。”
李淑琴也在超前学习，但后面的习题有点难，而且网上找不到答案。
而且，大学老师是很难找的，不像高中那样可以随时问问题，所以李淑琴困惑了很久。
难得碰到个助教师姐，一定要多问！
想到这儿，李淑琴拿着问题就去问殷越。
殷越：“？？？”
什么情况？
我成小猿搜题了？
都来问我？
不过，殷越虽然疑惑，但也没拒绝。
自己刚刚学了那么久，现在的帮忙解答几个问题，就当是课间休息了。
殷越看向女生给的问题——
设{fn(x)}为e=[a,b]上的实函数列，f1(x)≤f2(x)≤…≤fn(x)≤…并且lim(n→∞)fn(x)=f(x)
证明：对任何实数c，有e[f(x)>c]=u(n=1→∞)e[fn(x)>c]
一个很简单的问题。
殷越读完题就有了思路，开始证明。
【我完全看不懂题目】
【连符号都没见过】
【这应该是《实变函数》问题】
【殷越最近自习的课程？】
【是的】
【我深深怀疑，殷越真的能解出来？】
【别怀疑了，每次怀疑都会被殷越打脸（狗头）】
【有道理（笑死）】
……
李淑琴看向师姐的草稿，字很好看——
首先，我们证e[f(x)>c]是u(n=1→∞)e[fn(x)>c]的子集
任意x0∈e[f(x)>c]，有f(x0)>c，由题意可得
lim(n→∞)fn(x0)=f(x0)>c
——
李淑琴点点头。
这道题要证明两个集合相等，常见的方法就是两个集合互为对方的子集。
这个方法在高中数学书里有，不过几乎用不上。
毕竟，集合在高中，基本就是选择题前两题的难度，是送分题。
但集合论可比高中难得多，难度大概提升了亿点点。
她继续看殷越师姐的证明——
由极限保号性，存在n，当n>n时，有fn(x0)>c
于是，x0∈e[fn(x)>c]
从而，x0∈u(n=1→∞)e[fn(x)>c]
故e[f(x)>c]是u(n=1→∞)e[fn(x)>c]的子集
——
原来如此，是用《数学分析》里的保号性！
李淑琴敲了敲自己的脑袋。
自己果然不适合学数学，这都想不到！
——
然后，我们继续证明u(n=1→∞)e[fn(x)>c]是e[f(x)>c]的子集
任意x1∈u(n=1→∞)e[fn(x)>c]，则存在n，使得x1∈e[fn(x)>c]
则有fn(x1)>c
不妨设fn(x1)≥c+m（m>0）
——
大于等于c+m？
李淑琴有点不解。
为什么有这个操作？
why，why，why！！！
——
由函数列的单调性知：
c+m≤fn(x1)≤f（n+1）(x1)≤…
由极限保号性知：
f(x1)=lim(n→∞)fn(x1)≥c+m（m>0）
所以，f(x1)≥c+m>c
x1∈e[f(x)>c]
故u(n=1→∞)e[fn(x)>c]是e[f(x)>c]的子集
综上，u(n=1→∞)e[fn(x)>c]=e[f(x)>c]，证毕。
——
原来如此！
李淑琴忍不住看了殷越一眼：
师姐虽然长得嫩，但毕竟是师姐，数学功底还是很强的。
【瞧瞧这个女生看殷越的眼神，我磕到了】
【我靠，这也能磕】
【明明就是仰慕学霸的眼神，别想多了】
【殷越太强了，大三的题目也能解？】
【而且她是自学，学了没多久！】
【为什么殷越这么厉害（掩面哭泣）】
【人类进化没带上我（大哭）】
……